Question

18．如图1，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD=6cm，BD=8cm，∠DBC=90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s．当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图2所示，设△AEF的移动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t=1时，求EH的长度；
（2）若EG⊥AG，求证：EG²=AE•HG；
（3）设△AGD的面积为y（cm²），当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质和勾股定理求出AB的长，证明△DEH∽△DCB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；
（2）证明△AGE∽△EHG，根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{HG}$=$\frac{AE}{EG}$，整理即可；
（3）根据△DEH∽△DCB，求出函数关系式，根据二次函数的性质得到答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，又∠DBC=90°，
∴∠ADB=90°，又AD=6cm，BD=8cm，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10cm，
当t=1时，EB=2cm，
则DE=8-2=6cm，
∵EH⊥CD，∠DBC=90°，
∴△DEH∽△DCB，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{EH}{BC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{EH}{6}$，
解得，EH=3.6cm；
（2）∵∠CDB=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴∠AEG=∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，
∴△AGE∽△EHG，
∴$\frac{EG}{HG}$=$\frac{AE}{EG}$，
∴EG²=AE•HG；
（3）由（1）得，△DEH∽△DCB，
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{EH}{BC}$，即$\frac{8-2t}{10}$=$\frac{EH}{6}$，
解得，EH=$\frac{24-6t}{5}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×DG×EH=$\frac{-6{t}^{2}+24}{5}$=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t=-$\frac{6}{5}$（t-2）²+$\frac{24}{5}$，
∴当t=2时，y的最大值为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相关的性质定理以及二次函数的最值的求法是解题的关键，注意配方法把二次函数的一般式化为顶点式的灵活运用．