Question

15．如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别在边BC、CD上，且CF=1．
（1）如图1，若E为BC的中点，请你证明△AEF是直角三角形；
（2）若E点在BC边内运动，当BE为多少时，（E为BC的中点），△AEF为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=4，由勾股定理及勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）证明△ABE∽△ECF，得出对应边成比例$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}$，得出BE•CE=4，再由BE+CE=4即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=4，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=2，
由勾股定理得：
AE²=AB²+BE²=4²+2²=20，
EF²=CE²+CF²=2²+1²=5，
AF²=AD²+DF²=4²+3²=25，
∴AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形；
（2）解：当BE=2时，△AEF为直角三角形；理由如下：
如图所示：∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{CE}$，
即$\frac{BE}{1}=\frac{4}{CE}$，
∴BE•CE=4，
又∵BE+CE=4，
∴BE=CE=2，
即当BE=2时，△AEF为直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．