精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】综合题
(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明∠PQC=90°;

(2)如图②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时,∠PQC=90°?请说明.

【答案】
(1)证明:由旋转的性质知:BP=BQ、PA=QC,∠ABP=∠CBQ;
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,即∠CBP+∠ABP=60°;
∵∠ABP=∠CBQ,
∴∠CBP+∠CBQ=60°,即∠PBQ=60°;
又∵BP=BQ,∴△BPQ是等边三角形;
∴BP=PQ;
∵PA2+PB2=PC2,即PQ2+QC2=PC2;
∴△PQC是直角三角形,且∠PQC=90°
(2)解:PA2+2PB2=PC2;理由如下:
同(1)可得:△PBQ是等腰直角三角形,则PQ= PB,即PQ2=2PB2
由旋转的性质知:PA=QC;
在△PQC中,若∠PQC=90°,则PQ2+QC2=PC2,即PA2+2PB2=PC2;
故当PA2+2PB2=PC2时,∠PQC=90°
【解析】(1)由旋转的性质知:BP=BQ、PA=QC,∠ABP=∠CBQ,再根据△ABC是等边三角形,可得∠ABC=60°,结合已知条件可证△BPQ是等边三角形,在△PQC中应用勾股定理的逆定理可得△PQC是直角三角形,且∠PQC=90°;(2)方法同(1)。

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降,今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元.

(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元?

(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知B款汽车每辆进价为7.5万元,每辆售价为10.5万元,A款汽车每辆进价为6万元,若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元,问B款汽车至少卖出多少辆?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】有四个三角形,分别满足下列条件:(1)一个角等于另外两个内角之和;(2)三个内角之比为3:4:5;(3)三边之比为5:12:13;(4)三边长分别为5,24,25.其中直角三角形有(  )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知点P位于第一象限,到x轴的距离为2,到y轴的距离为5,则点P的坐标为(

A.(25)B.(52)C.(25)(25)D.(52)(52)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2 , b2 , c2的长为边的三条线段能组成一个三角形;②以的长为边的三条线段能组成一个三角形;③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形;④以,,的长为边的三条线段能组成直角三角形,正确结论的序号为

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=32cm,AB=24cm,点F从点B出发沿B→C方向运动,点E从点D出发沿D→A方向运动,点E和点F的速度都为3cm/s,则当点E运动s后,线段EF刚好被AC垂直平分.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】两个相似三角形的相似比为2:3,则它们的面积之比为

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E是AD边上一点,BE=BC.

(1)求证:EC平分∠BED.
(2)过点C作CF⊥BE,垂足为点F,连接FD,与EC交于点O,求FD·EC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】下列说法正确的是(

A.0.250.5的一个平方根B.49的平方根是7

C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0D.负数有一个平方根

查看答案和解析>>

同步练习册答案