Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是AD边上一点，BE＝BC.

（1）求证：EC平分∠BED.
（2）过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接FD，与EC交于点O，求FD·EC的值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：作CF垂直BE于F

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
即EC平分∠BED．
（2）解：如图所示：

∵CF⊥EB，CD⊥ED，EC平分∠BED，
∴CF=CD=3，
在Rt△ABE中，∵AB=3，BE=BC=5，
∴AE= =4，
∴DE=1，
在Rt△ECD和Rt△ECF中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△ECF，
∴ED=EF=1，∵CF=CD=3，
∴EC垂直平分线段DF，
∴S四边形EFCD=2S△EDC= ECDF，
∴ ECDF=2× ×3×1=3，
∴ECDF=6．
【解析】（1）根据已知BE＝BC，可证出∠BEC=∠BCE，再根据矩形的性质及平行线的性质得出∠DEC=∠BCE，就可得到∠DEC=∠BEC，即可征得结论。
（2）根据角平分线的性质证明DE=EF，利用直角三角形全等的判定方法证明Rt△ECD≌Rt△ECF，得出CF=CD，再利用勾股定理求出AE的长，就可求出DE的长，再求出△ECD的面积，然后根据S四边形EFCD=2S△EDC ， 即可求出结果。