Question

20．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．
（1）求直线DE的函数关系式；
（2）函数y=mx-2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；
（3）点P在y轴上运动，求使△PHF周长最小时的点P的坐标及此时△PHF的周长．

Answer 1

分析 （1）由顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，可求得点E的坐标，又由过点D（8，0），利用待定系数法即可求得直线DE的函数关系式；
（2）由（1）可求得点F的坐标，又由函数y=mx-2的图象经过点F，利用待定系数法即可求得m值；

解答 解：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，
∴点E的坐标为：（6，2），
∵D（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{bk+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线DE的函数关系式为：y=-x+8；
（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，
∴-x+8=4，
解得：x=4，
∴点F的坐标为（4，4）；
∵函数y=mx-2的图象经过点F，
∴4m-2=4，
解得：m=$\frac{3}{2}$；
（3）如图：，
作H关于y轴的对称点N，连接FN，FN与y轴的交点是P点．
当y=0时，$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=$\frac{4}{3}$，即H（$\frac{4}{3}$，0），
H点关于y轴的对称点是N（-$\frac{4}{3}$，0），
设FN的解析式为y=kx+b，将F，N点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{-\frac{4}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
FN的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+1，
当x=0时，y=1，即P（0，1）．
由勾股定理，得
FN=$\sqrt{（4+\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，FH=$\sqrt{（4-\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
C_△PHF最小=PF+PH+FH=FN+FH=$\frac{20}{3}$+$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 此题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求一次函数的解析式，利用轴对称的性质得出PH=PN是解题关键，又利用了线段的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．