Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，且BD为直径，∠ACB=45°，过A点的AC的垂线交BC的延长线于点E．


（1）求证：BE=CD；
（2）如果AD= ，求图中阴影的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠ACB=45°，

∵AE⊥AC，

∴△ADE与△ABD是等腰直角三角形，

∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△ABE与△ADC中， ，

∴△ABE≌△ADC，

∴BE=CD；

（2）

解：连接AO，则∠AOD=90°，

∵AD= ，

∴AO=OD=1，

∴S阴影=S扇形﹣S△AOD= ﹣ ×1×1= ﹣ ．

【解析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=45°，推出△ADE与△ABD是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AO，则∠AOD=90°，根据勾股定理得到AO=OD=1，根据图形的面积公式即可得到结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆内接四边形的性质(把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形)，还要掌握扇形面积计算公式(在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）)的相关知识才是答题的关键．