Question

【题目】如图1，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+4|+|b+3a|＝0．

（1）求A、B两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点C，且AC+BC＝19，求C点表示的数；

（3）如图2，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；两秒后另一个小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）乙球以4个单位/秒的速度向相反方向运动，设甲球运动的时间为t（秒）．

①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用含t的式子表示）；

②求甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数；

Answer 1

【答案】（1）A、B两点之间的距离是16；（2）点C不可能线段AB上，则C点可能在线段BA的延长线上或线段AB的延长线上，当AC+BC＝19，C表示的数为或；（3）①乙球到原点的距离为：12﹣3（t﹣2）；甲球与原点的距离为：2t+4；②甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数为﹣或﹣48．

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；

（2）分C点在线段BA延长线上和线段AB延长线上两种情况讨论即可求解；

（3）①甲球到原点的距离＝甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度﹣乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程﹣OB的长度即为乙球到原点的距离；

②按①分两种情况根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．

解：（1）∵|a+4|+|b+3b|＝0，

∴a+4＝0，b+3a＝0，

∴a＝﹣4，b＝﹣3a＝12，

∴AB＝|b﹣a|＝|12﹣（﹣4）|＝16

∴A、B两点之间的距离是16．

（2）设数轴上点C表示的数为c

∴AC＝|c﹣a|＝|c+4|，BC＝|c﹣b|＝|c﹣12|

∵AC+BC＝19

∴|c+4|+|c﹣12|＝19

∵AB＝16＜19

∴点C不可能线段AB上，则C点可能在线段BA的延长线上或线段AB的延长线上．

①当C点在线段BA延长线上时，则有c≤﹣4，

∴|c+4|＝﹣（c+4），|c﹣12|＝﹣（c﹣12）

∴﹣（c+4）﹣（c﹣12）＝19

解得：c＝

②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞12，

∴|c+4|＝c+4，|c﹣12|＝c﹣12

∴c+4+c﹣12＝19

解得：c＝

综上所说，当AC+BC＝19，C表示的数为或．

（3）①∵甲球运动的路程为：2t＝2t，OA＝4

∴甲球与原点的距离为：2t+4

乙球到原点的距离分两种情况：

（Ⅰ）当0＜t≤4时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，

∵OB＝12，乙球运动的路程为：3t＝3t，

∴乙球到原点的距离为：12﹣3（t﹣2）；

（Ⅱ）当t＞4时，乙球从原点O处开始一直向右运动，

∴乙球到原点的距离为：3（t﹣2）﹣12．

②当0＜t≤4时，得2t+4＝12﹣3（t﹣2），

解得：t＝

∴﹣4﹣2t＝

当t＞4时，得2t+4＝3（t﹣2）﹣12，

解得：t＝22

∴﹣4﹣2t＝﹣48

综上所述，甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数为﹣或﹣48．