如图，抛物线y=$-\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0），B（4，0），点D（m，n）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点F，垂足为E．分析 （1）把点A（-1，0），B（4，0）的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；令x=0即可得到点C的纵坐标；
（2）利用三角形的面积公式得到S=-m2+4m，结合二次函数最值的求法进行解答；
（3）由相似三角形的对应角相等、平行线DE∥OC的性质以及锐角三角函数的定义求得m=1，再利用（2）中的$n=-\frac{1}{2}m+2$来求n的值，易得D点的坐标．
解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}-b+c=0\\-8+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$，
当x=0时，$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=2$，
∴C（0，2）；
（2）∵DE⊥x轴于E，D（m，n），
∴$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{n}{4-m}=\frac{2}{4}$，即$n=-\frac{1}{2}m+2$．
当x=m时，$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2$，
∴$DF=（-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）-（-\frac{1}{2}m+2）=-\frac{1}{2}{m^2}+2m$，
∴${S_{△CBF}}={S_{△CDF}}+{S_{△BDF}}=\frac{1}{2}DF•OE+\frac{1}{2}DF•BE=\frac{1}{2}DF•OB=-{m^2}+4m$，即S=-m2+4m，
∵-1＜0，0＜m＜4．
∴当$m=-\frac{4}{2×（-1）}=2$时，S最大，此时$n=-\frac{1}{2}m+2=1$，
∴当S最大时D点坐标为（2，1）；
（3）存在．理由如下：
∵∠ECD=∠BCE
∴当∠CED=∠CBE时，△CDE∽△CEB．
∵∠COB=∠DEB=90°．
∴DE∥OC，
∴∠OCE=∠CED=∠CBE．
∵$tan∠OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{m}{2}$，$tan∠CBE=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，解得m=1．
∴$n=-\frac{1}{2}m+2=\frac{3}{2}$，D（1，$\frac{3}{2}$）．
点评 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，2）、B（4，0）、C（4，-4）．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
小明将如图两水平线l1、l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两条直线l3、l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数y=ax2-2a2x+1的图象，则（ ）| A． | l1为x轴，l3为y轴 | B． | l2为x轴，l3为y轴 | C． | l1为x轴，l4为y轴 | D． | l2为x轴，l4为y轴 |
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科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D．已知∠APB=60°，AC=2，那么AD的长为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．查看答案和解析>>
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如图，在半径为6的⊙O中，弦AB长为6．求弦AB与$\widehat{AB}$所围成的阴影部分的面积．