Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+1相交于点A(0，1)和点B(3，﹣2)，交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；

（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）；（3）t＝1或t＝2或或

【解析】

（1）将点A（0，1）和点B（3，-2）代入抛物物线y=-x2+bx+c中，列出方程组即可解答；
（2）过点D作 DM∥y轴交AB于点M，D（a，-a2+2a+1），则M（a，-a+1），表达出DM，进而表达出△ABD的面积，利用二次函数的性质得出最大值及D点坐标；
（3）由题意可知，∠ACE=∠ACO=45°，则△BCD中必有一个内角为45°，有两种情况：①若∠CBD=45°，得出△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，再対△ACE进行分类讨i论；②若∠CDB=45，根括圆的性质确定D1的位置，求出D1的坐标，再对△ACE与△CD1B相似分类讨论．

解：（1）将点A（0，1）和点B（3，﹣2）代入抛物物线y＝﹣x2+bx+c中

得，

解得

∴y＝﹣x2+2x+1；

（2）如图1所示：过点D作 DM∥y轴交AB于点M，

设D（a，﹣a2+2a+1），则M（a，﹣a+1）

．∴DM＝﹣a2+2a+1﹣（﹣a+1）＝﹣a2+3a

∴

∵，有最大值，

当时，

此时

图1

（3）∵OA＝OC，如图2，CF∥y轴，

∴∠ACE＝∠ACO＝45°，

∴△BCD中必有一个内角为45°，由题意可知，∠BCD不可能为45°，

①若∠CBD＝45°，则BD∥x轴，

∴点D与点B于抛物线的対称轴直线x＝1対称，设BD与直线＝1交于点H，则H（1，﹣2）

B（3，﹣2），D（﹣1，﹣2）

此时△BCD是等腰直角三角形，因此△ACE也是等腰直角三角形，

（i）当∠AEC＝90°时，得到AE＝CE＝1，

∴E（1.1），得到t＝1

（ii）当∠CAE＝90时，得到：AC＝AE＝，

∴CE＝2，∴E（1.2），得到t＝2

图2

②若∠CDB＝45°，如图3，①中的情况是其中一种，答案同上

以点H为圆心，HB为半径作圆，则点B、C、D都在圆H上，

设圆H与对称左侧的物线交于另一点D1，

则∠CD1B＝∠CDB＝45°（同弧所对的圆周角相等），即D1也符合题意

设

由HD1＝DH＝2

解得n1＝﹣1（含去），n2＝3（舍去），（舍去），

∴，

则，

（i）若△ACE∽△CD1B，

则，

即，

解得，（舍去）

（ii）△ACE∽△BD1C则，

即，

解得，（舍去）

综上所述：所有满足条件的t的值为t＝1或t＝2或或

图3