Question

6．请先观察下列等式：$\root{3}{2\frac{2}{7}}$=2$\root{3}{\frac{2}{7}}$，$\root{3}{3\frac{3}{26}}$=3$\root{3}{\frac{3}{26}}$，$\root{3}{4\frac{4}{63}}$=4$\root{3}{\frac{4}{63}}$，再写出满足上述各式规律的一般化的公式，并说明．

Answer 1

分析 观察等式：左边的被开方数的整数部分和分数部分的分子相同，分母是分子的立方减去1；右边根号外是左边的整数部分，根号内是左边被开方数的分数部分．

解答 解：$\root{3}{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$=（n+1）$\root{3}{\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$．
验证：$\root{3}{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$
=$\root{3}{\frac{（n+1）[（n+1）^{3}-1+1]}{（n+1）^{3}-1}}$
=$\root{3}{\frac{（n+1）^{3}（n+1）}{（n+1）^{3}-1}}$
=（n+1）$\root{3}{\frac{n+1}{（n+1）^{3}-1}}$．

点评 此题考查了立方根，等式的规律问题，要分别观察等式的左边和右边．