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【题目】如图,已知抛物线yax2+bx+5经过A(50)B(4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD

(1)求该抛物线的表达式;

(2)P为该抛物线上一动点(与点BC不重合),设点P的横坐标为t

①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;

②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)yx2+6x+5(2)SPBC的最大值为;②存在,点P的坐标为P(,﹣)(05)

【解析】

(1)将点AB坐标代入二次函数表达式,即可求出二次函数解析式;

(2)①如图1,过点Py轴的平行线交BC于点G,将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BC的表达式为:yx+1,设点G(tt+1),则点P(tt2+6t+5),利用三角形面积公式求出最大值即可;

②设直线BPCD交于点H,当点P在直线BC下方时,求出线段BC的中点坐标为(,﹣),过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1,求出 直线BC中垂线的表达式为:y=﹣x4…③,同理直线CD的表达式为:y2x+2…④,、联立③④并解得:x=﹣2,即点H(2,﹣2),同理可得直线BH的表达式为:yx1…⑤,联立⑤和yx2+6x+5并解得:x=﹣,即可求出P点;当点P(P′)在直线BC上方时,根据∠PBC=∠BCD求出BP′CD,求出直线BP′的表达式为:y2x+5,联立yx2+6x+5y2x+5,求出x,即可求出P.

解:(1)将点AB坐标代入二次函数表达式得:

解得:

故抛物线的表达式为:yx2+6x+5…①,

y0,则x=﹣1或﹣5

即点C(10)

(2)①如图1,过点Py轴的平行线交BC于点G

将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线BC的表达式为:yx+1…②,

设点G(tt+1),则点P(tt2+6t+5)

SPBCPG(xCxB)(t+1t26t5)=﹣t2t6

-0

SPBC有最大值,当t=﹣时,其最大值为

②设直线BPCD交于点H

当点P在直线BC下方时,

∵∠PBC=∠BCD

∴点HBC的中垂线上,

线段BC的中点坐标为(,﹣)

过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1

BC中垂线的表达式为:y=﹣x+m,将点(,﹣)代入上式并解得:

直线BC中垂线的表达式为:y=﹣x4…③,

同理直线CD的表达式为:y2x+2…④,

联立③④并解得:x=﹣2,即点H(2,﹣2)

同理可得直线BH的表达式为:yx1…⑤,

联立①⑤并解得:x=﹣或﹣4(舍去﹣4)

故点P(,﹣)

当点P(P′)在直线BC上方时,

∵∠PBC=∠BCD,∴BP′CD

则直线BP′的表达式为:y2x+s,将点B坐标代入上式并解得:s5

即直线BP′的表达式为:y2x+5…⑥,

联立①⑥并解得:x0或﹣4(舍去﹣4)

故点P(05)

故点P的坐标为P(,﹣)(05)

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