【题目】如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,AB=2,求菱形BCDE的面积.
【答案】(1)见解析;(2)2.
【解析】
(1)根据菱形的判定证明即可;
(2)根据等边三角形的性质菱形的性质和三角函数解答即可.
(1)证明:∵E为AD的中点,
∴AD=2DE=2AE,
∵AD=2BC,
∴DE=BC,
又∵AD∥BC,
∴四边形BCDE为平行四边形,
∵∠ABD=90°,E为AD中点,
∴在Rt△ABD中,AD=2BE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE为菱形;
(2)解:过点BF⊥AD于点F,如图所示:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
又∵AD∥BC,
∴∠BCA=∠DAC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴AB=BC,
∴AB=BC=BE=DE=AE=2,
∴△ABE为等边三角形,
∴∠BAE=60°,∠BDA=30°
∴在Rt△ABD中,BD=AB=2
∴在Rt△BDF中,BF=BD=,
∴菱形BCDE的面积=DE×BF=2.
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【题目】如图,在△ABC中,BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E,如果∠BAC=60°,∠ACE=24°,那么∠BCE的大小是( )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 36°
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
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【题目】如图,线段AB的长度为2,AB所在直线上方存在点C,使得△ABC为等腰三角形,设△ABC的面积为S.当S=___________时,满足条件的点C恰有三个.
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【题目】
(已有经验)
我们已经研究过作一个圆经过两个已知点,也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切,尺规作图如图所示:
(迁移经验)
(1)如图①,已知点M和直线l,用两种不同的方法完成尺规作图:求作⊙O,使⊙O过M点,且与直线l相切.(每种方法作出一个圆即可,保留作图痕迹,不写作法)
(问题解决)
如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.
(2)已知⊙O经过点C,且与直线AB相切.若圆心O在△ABC的内部,则⊙O半径r的取值范围为 .
(3)点D是边AB上一点,BD=m,请直接写出边AC上使得∠BED为直角时点E的个数及相应的m的取值范围.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D在圆上,,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)已知BC=3,AC=4,求CE的长.
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【题目】已知,AB、BC是半径为的⊙O内的两条弦,且AB=6,BC=8.(1)若∠ABC=90°,则=________;(2)若∠ABC=120°,则=______.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是弧的中点,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=10,AC=时,求弧的长;
(3)当AB=20时,直接写出△ABC面积最大时,点D到直径AB的距离.
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