Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）已知BC＝3，AC＝4，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90°；
（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵弧BC=弧CD，
∴DC=BC，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E=90°
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴，
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5，CD=3，
∴，，
∴CE=．