Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：NF是⊙O的切线；

（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

（1）连接ON，根据切线的判定进行证明；

（2）利用四边形ONFH为矩形的判定和垂径定理，勾股定理求解.

（1）证明：连接ON．

∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵OC＝ON，

∴∠ONC＝∠DCB，

∴∠ONC＝∠B，

∴ON// AB

∵ NF⊥AB

∴∠NFB＝90°

∴∠ONF＝∠NFB=90°，

∴ON⊥NF

又∵NF过半径ON的外端

∴NF是⊙O的切线

（2）过点O作OH⊥ED,垂足为H，设⊙O的半径为r

∵OH⊥ED, NF⊥AB , ON⊥NF，

∴∠OHD＝∠NFH=∠ONF=90°．

∴四边形ONFH为矩形．

∴HF= ON=r，OH=NF=2

∴HD=HF-DF=r－1

在Rt△OHD中，∠OHD＝90°

∴OH2＋HD2＝OD2

即22＋（r－1）2＝r2

∴r＝．

∴HD=

∵OH⊥ED，且OH过圆心O

∴ED=2HD=3