Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝10，AC＝时，求弧的长；

（3）当AB＝20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）5.

【解析】

（1）连接OD，首先证明∠BAD＝∠CAD，然后依据等腰三角形的性质和平行线的性质可证明OD∥AC，然后再证明∠ODE＝90°即可；

（2）连接BC，OC，则∠ACB是直角，利用特殊锐角三角函数值可知∠BAC＝30°，从而可求得∠BOC＝60°，然后依据扇形的弧长公式进行计算即可；

（3）连接OD、BC、OC过点O作OF⊥AC，垂足为F，首先证明四边形ODEF为矩形，则OF＝ED，然后通过解直角三角形再求得AC、OF的长即可．

（1）连接OD．

∵D是的中点，

∴，

∴∠1＝∠2．

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（2）连接BC，OC，则∠ACB是直角．

当AB＝10，AC＝5时，则cos∠BAC＝

∴∠BAC＝30°，∠BOC＝60°

∴=

（3）如图所示：连接OD、BC，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F．

由（1）可知OD⊥DE．

∴∠FOD＝∠ODE＝∠DEA＝90°，

∴四边形ODEF为矩形．

∴OF＝ED．

当∠BAC＝45°时，△ABC为等腰直角三角形，此时△ABC面积最大．

∴AC＝cos45°AB＝×20＝10．

∴DE＝OF＝AC＝5．