Question

如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=AD=4，D为QP的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质由AB是⊙O的切线得∠OBA=90°，而∠A=30°，则∠AOB=60°，由于OB=OC，则∠OCB=∠OBC，根据三角形外角性质得∠OCB+∠OBC=∠AOB，所以∠OCB=30°，于是有∠A=∠OCB，根据等腰三角形的判定得AB=BC；
（2）连结OD，由∠AOB=60°得到∠BOC=120°，D为

BC

的中点，根据相等的弧所对的圆心角相等得∠BOD=∠COD=60°，于是可判断△BOD与△COD都是等边三角形，易得OB=BD=CD=OC，于是可判断四边形BOCD是菱形．

解答：证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠OCB+∠OBC=∠AOB，
∴∠OCB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；
（2）连结OD，如图，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为

BC

的中点，
∴∠BOD=∠COD=60°，
而OB=OC=OD，
∴△BOD与△COD都是等边三角形，
∴BD=OB，CD=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形BOCD是菱形．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了菱形的性质．