Question

已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从0点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求经过0，A，B三点的抛物线的解析式；
（3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似？
（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，由已知条件利用勾股定理求AC，利用面积法求CD，利用勾股定理求OD，确定C点坐标，从而求直线AC的解析

41

5

式；
（2）由上题中求得的C（

16

5

，

12

5

），可以求得B（

41

5

，

12

5

），设抛物线的解析式为y=ax²+bx=c，把A、B、O坐标分别代入即可求得．
（3）根据P点是否在线段OA上分类：当0≤t≤2.5时，和当t＞2.5时，判断相似是否成立，利用相似比求符合条件的t的值；
（4）当P点在线段OA上，在A点的左侧时AP=AQ，t=

5

3

，当P在A点的右侧AP=AQ时t=5．点P在A右侧：QA=QP时，t=

25

2

，点P在A右侧：PA=PQ时，t=

40

11

．

解答：解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC，
解得CD=

4×3

5

=

12

5

，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=

OC2-OD2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），
又∵A（5，0），
∴直线AC解析式为：y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）∵C（

16

5

，

12

5

），
∴B（

41

5

，

12

5

），
∵O（0，0），A（5，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，代入得

c=0 25a+5b=0 412a 5 + 41b 5 = 12 5

，解得

a= 15 164 b= 75 164 c=0

，
∴抛物线的解析式为y=

15

164

x²-

75

164

x．

（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC，
故

AP

AQ

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

2t-5

t

=

4

5

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合条件．
综上可知，当t=

25

6

或

20

3

时，△OAC与△APQ相似．

（4）有四种情况：
①点P在A左侧：AP=AQ时，t=

5

3

，
②点P在A右侧：AP=AQ时，t=5，
③点P在A右侧：QA=QP时，t=

25

2

，
④点P在A右侧：PA=PQ时，t=

40

11

．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用勾股定理，面积法，相似三角形的性质解题．