Question

如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，∠DBC=∠BAC．
（1）判断BC与⊙O有何位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE=90°，再求出∠EBD+∠DBC=90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；
（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．

解答：解：（1）BC是⊙O的切线．理由如下：
连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠EBD+∠E=90°，
∵∠DBC=∠DAB，∠DAB=∠E，
∴∠EBD+∠DBC=90°，
即OB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC是O的切线；

（2）∵∠BOD=2∠A=60°，OB=OD，
∴△BOD是边长为4的等边三角形，
∴S_△BOD=

3

4

×4²=4

3

，
∵S_扇形DOB=

60π×42

360

=

8

3

π，
∴S_阴影=S_扇形DOB-S_△BOD=

8

3

π-4

3

．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．