Question

【题目】（操作发现）

（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，此时∠ABB′等于多少度；

（问题解决）

在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．

经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP’，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；

（学以致用）

（3）如图3，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；

（思维拓展）

如图4，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），请直接写出BD的长（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】【操作发现】（1）∠AB′B＝45°；【问题解决】（2）PB＝5；【学以致用】（3）S△APC＝7；【思维拓展】BD＝．

【解析】

（1）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，则AB＝AB′，∠B′AB＝90°，即可得出答案；

（2）由∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP'，连接PP′，则△APP′是等边三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，得出∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∠PP′B＝90°，由勾股定理即可得出结果；

（3）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°90°120°＝150°，得出PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，推出PP′＝PC，即AP＝PC，由勾股定理得出AP2＋PC2＝AC2，即（PC）2＋PC2＝72，求出PC＝2，AP＝，由三角形面积公式即可得出结果；

（4）由等腰三角形的性质得出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，得出∠BAC＝∠DAG，∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，证出△ABC∽△ADG，得出BC＝2，DG＝kBC＝2k，证得∠GDC＝90°，得出CG＝，即可得出结果．

解：（1）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，如图1所示：

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，

∴∠AB′B＝45°，

故答案为：45°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP'，连接PP′，如图2所示：

则△APP′是等边三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，

∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，

∴∠PP′B＝90°，

∴PB＝；

（3）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如图3所示：

则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，

∴PP′＝PC，即AP＝PC，

∵∠APC＝90°，

∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，

∴PC＝2，

∴AP＝，

∴S△APC＝APPC＝××2＝7；

(4)∵AE⊥BC，BE＝EC，

∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，如图4所示：

∵∠BAD＝∠CAG，

∴∠BAC＝∠DAG，

∵AB＝AC，AD＝AG，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD＝kAB，BE＝CE＝1，

∴BC＝2，DG＝kBC＝2k，

∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC＝90°，

∴∠GDC＝90°，

∴CG＝，

∴D＝CG＝．