Question

如图1，在△ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED//BC，O为DC中点，连结EO并延长交BC的延长线于点F，则有S四边形EBCD=S△EBF.

（1）如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，△MON的面积存在最小值．直接写出这个条件:_______________________.

（2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．

 

 

Answer 1

（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；（2）10.

【解析】

试题分析：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；

（2）①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N，由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S四边形OANM=S△OAD-S△MND.

②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，利用S四边形OCMN=S△OCT-S△MNT，进而得出答案．

试题解析：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小.

如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，

可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．

∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF.

∴当点P是MN的中点时S△MON最小.

（2）分两种情况：

①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N．

延长OC、AB交于点D，易知AD = 6，S△OAD＝18 ．

由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．

过点P、M分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1、M1．

由题意得M1P1=P1A = 2，从而OM1=MM1= 2． 又P(4,2)，B(6,3)

∴P1A=M1P1=O M1=P1P=2，M1 M=OM=2，可证四边形MM1P1P是正方形．

∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S△MND＝8.

∴ .

② 如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．

延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y =－x＋9 ．

则T点的坐标为（9，0）．

∴S△OCT=×9×=．

由(1)的结论知：当PM=PN时，△MNT的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．

过点P、M点分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足为P1 ，M1.

从而 NP1 =P1M1，MM1=2PP1=4．

∴点M的横坐标为5，点P（4、2），P1M1= NP1 = 1，TN =6．

∴S△MNT=×6×4=12，S四边形OCMN=S△OCT-S△MNT = -12=＜10．

综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

考点：1.线动旋转问题；2. 正方形的判定和性质；3.图形面积求法；4.分类思想的应用.