Question

【题目】已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．

（1）如图1，

①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；

②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ；

（2）如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD；

（3）如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转的过程中，在什么情况下线段BF的长取得最大值？若AC=2a，试写出此时BF的值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②α；（2）详见解析；（3）当B、O、F三点共线时BF最长，(+)a

【解析】

（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；

②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度数；

（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE=BD；

（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求，，即可求得BF

（1）①连接AD，如图1．

∵点C与点D关于直线l对称，

∴AC = AD．

∵AB= AC，

∴AB= AC = AD．

∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．

②∵AD=AB=AC，

∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，

∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，

∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，

∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α

∴∠BDC=α

故答案为：α．

（2连接CE，如图2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵∠BDC=α，

∴∠BDC=30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE=60°，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴DE=CE，且∠CDE=60°

∴△CDE是等边三角形，

∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE，

（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，

，

F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，

∵在△BOF中，BO+OF≥BF，

当B、O、F三点共线时BF最长；

如图，过点O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，

∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，

∴∠COH=∠HCO=45°，

∴OH=HC，

∴，

∵点O是AC中点，AC=2a，

∴，

∴，

∴BH=3a，

∴，

∵点C关于直线l的对称点为点D，

∴∠AFC=90°，

∵点O是AC中点，

∴，

∴，

∴当B、O、F三点共线时BF最长；最大值为(+)a．