Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是BC中垂线l上一动点，连接PA，交CB于点E，F是点E关于l的对称点．将PF延长交AB于点D，连接CD交PA于点G．
（1）如图，若点P移动到BC下方时，求证：∠AEC=∠DFB，CD⊥AE；
（2）如图，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，请试写出线段AE、CD、DF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）可通过构建全等三角形得出角相等来求证．要证CG⊥AP，那么就要证出∠BCD=∠CAH，那么可构建与三角形BCD全等的三角形来求解．过C作∠BCA的平分线交AP于H，那么就是证△ACH和△BDC全等，已知AC=BC，∠ACH=∠B=45°，只要证出CH=BD就能得出两三角形全等，那么我们可通过全等△CHE和△BDF来求证．由于E，F关于MN对称，那么CE=BF，PE=PF，可得出∠PEF=∠PFE，也就是∠CEH=∠DFB，又已知了∠HCB=∠B=45°，因此就能得出△CEH与△DFB全等，就能得出CH=BD，也就能得出△AHC与△BDC全等了．进而可通过∠DCB=∠CAG来得出CG⊥AP；
（2）如图2，作∠ACB的角平分线交AP于H，于是得到∠BCH=∠ACH=45°根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°由于P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于l对称，于是得到CE=BF，PE=PF，求得∠PEF=∠PFE，推出△CEH≌△BFD（ASA）根据全等三角形的性质得到EH=FD，通过△ACH≌△CBD得到AH=CD，即可得到结论．

解答 （2）证明：如图1，作∠ACB的角平分线交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于l对称，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH与△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠B}\\{CE=BF}\\{∠CEH=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴CH=BD，
在△ACH与△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACH=∠B=45°}\\{CH=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH，
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE；

（2）AE=CD+DF，
证明：如图2，作∠ACB的角平分线交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于l对称，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH与△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECH=∠B}\\{CE=BF}\\{∠CEH=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴EH=FD，
在△ACH与△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACH=∠B=45°}\\{CH=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△CBD，
∴AH=CD，
∵AE=AH+EH，
∴AE=CD+DF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，等腰直角三角形的性质，根据已知和所求的条件构建出全等三角形是解题的关键．