Question

【题目】在中，，，为等边三角形，，连接，为中点．

（1）如图1，当，，三点共线时，请画出关于点的中心对称图形，判断与的位置关系是 ；

（2）如图2，当A，，三点共线时，问（1）中结论是否成立，若成立，给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）如图2，取中点，连，将绕点旋转，直接写出旋转过程中线段的取值范围是　　．

Answer 1

【答案】（1）图见解析，BM⊥ME；（2）结论成立，理由见解析；（3）-1≤MN≤+1

【解析】

（1）先作出图形，进而证明△AMF≌△DME，即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四边形的内角和定理及平角的定义得出∠BCE=∠BAF即可得出△AFB≌△CEB，从而求证；

（3）同（2）的方法得出∠BME=90°，进而得出BE=2MN，最后用三角形的三边关系即可得出结论．

解：（1）证明：如图1，

延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，

∵△CDE是等边三角形，

∴CD=CE=DE，∠CED=60°，

∵∠ABC=120°，

∴∠ABC+∠CED=180°，

∵B，C，E三点共线，

∴AB∥DE，

∴∠FAM=∠MDE，∠MED=∠F，

∵点M是AD中点，

∴AM=DM，

∴△AMF≌△DME，

∴AF=DE=CE，FM=ME，

∵AB=BC，

∴BF=BE，

∴BM⊥ME；

（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，BE

∵AM=DM，∠FMA=∠DME，

∴△AMF≌△DMF，

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，

在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，

∵∠ABC=120°，∠CED=60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE=∠BAF，

∵AB=AC，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF=BE

∴BM⊥ME；

（3）如图3，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，BM，

∵AM=DM，∠FMA=∠DME，

∴△AMF≌△DME，

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，

在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，

∵∠ABC=120°，∠CED=60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE=∠BAF，

∵AB=CB，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°，

∴∠BME=90°，

∵点N是BE的中点，

∴MN=BE，

即：BE=2MN，

在△BCE中，BC=2，CE=CD=2，

∴2-2＜BE＜2+2

∴2-2＜2MN＜2+2，

即：-1≤MN≤+1，

故答案为：-1≤MN≤+1