Question

【题目】定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”．

（1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式；

（2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”；

（3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的“友好抛物线”为：；（2）见解析；（3）或.

【解析】

（1）设的“友好抛物线”的表达式为：，根据可得其顶点坐标，代入可得的值，进而得出的“友好抛物线”；

（2）先求出抛物线和的顶点坐标，根据过的顶点，得出，进而得到抛物线经过的顶点，再根据与的开口大小相同，方向相反，即可得出抛物线也是的“友好抛物线”；

（3）根据“友好抛物线”的定义，得到，进而得到的顶点为．

根据抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得．

再根据经过点，得到．根据经过点，得到．

进而得出抛物线与线段没有公共点时，的取值范围．

解：（1）依题意，可设的“友好抛物线”的表达式为：，

∵，

∴的顶点为．

∵过点，

∴，即．

∴的“友好抛物线”为：．

（2）的顶点为，

的顶点为，

∵为的“友好抛物线”，

∴．

∵过的顶点，

∴．

化简得：．

把代入，得

．

∴抛物线经过的顶点．

又∵与的开口大小相同，方向相反，

∴抛物线也是的“友好抛物线”．

（3）∵抛物线为的“友好抛物线”，

∴．

∴的顶点为．

∵抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，

∴，即．

当经过点时，，

∴．

当经过点时，，

∴．

由此可知：时，抛物线与线段有公共点，

∴抛物线与线段没有公共点时，或．