Question

10．已知关于x的二次三项式mx²-2（m+2）x+（m+5）在实数范围内不能分解因式，试判断方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0根的情况．

Answer 1

分析 由关于x的二次三项式mx²-2（m+2）x+（m+5）在实数范围内不能分解因式，得到方程mx²-2（m+2）x+（m+5）=0无实数根，根据△₁=4（m+2）²-4m（m+5）=-4m+16＜0，得到m＞4，根据△₂=4（m+2）²-4m（m-5）=36m+16＞0，于是得到方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0有两个不相等的实数根．

解答 解：∵关于x的二次三项式mx²-2（m+2）x+（m+5）在实数范围内不能分解因式，
∴mx²-2（m+2）x+（m+5）=0无实数根，
∴△₁=4（m+2）²-4m（m+5）=-4m+16＜0，
∴m＞4，
∵△₂=4（m+2）²-4m（m-5）=36m+16，
∵m＞4，
∴△₂=36m+16＞0，
∴方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．