Question

3．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，且AD=DC=3cm，AB=5cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿折线A-D-C运动，过点P作PQ∥AB，交BC于点Q，设运动时间为t（s），
（1）当点P经过CD的中点时，直线PQ与AD的延长线相交于点E，求证：△CPQ≌△DPE．
（2）当△APQ为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由ASA即可证明△CPQ≌△DPE；
（2）分两种情形：
情形1：当P₂A⊥Q₂A时，证明△ABO∽△P₂Q₂C，得出Q₂C=$\frac{4}{3}$（6-t），再证明△ADP₂≌△AOQ₂，得出DP₂=OQ₂，列出方程$\frac{4}{3}$（6-t）-3=t-3，解方程即可；
情形2：当AQ₁₁⊥P₁Q₁时，根据射影定理求出OQ₁=$\frac{9}{4}$，得出CQ₁3=$\frac{3}{4}$，再证明△ABO∽△P₁Q₁C，求出P₁C=$\frac{9}{16}$，即可得出t=6-$\frac{9}{16}$=$\frac{87}{16}$．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵点P是CD的中点，
∴DP=CP，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠C=90°，
在△DPE和△CPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDP=∠C}\\{DP=PC}\\{∠DPE=∠CPQ}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△CPQ（ASA）；
（2）解：如图2，过点A作AO⊥BC于点O，
∵∠AOC=∠C=∠D=90°AD=CD=3cm，
∴四边形AOCD是正方形，
∵AB=5cm，AO=3cm，
∴BO=4cm，
情形1：当P₂A⊥Q₂A时，
∵AB∥P₂Q₂，
∴∠ABO=∠P₂Q₂C，
又∵∠AOPB=∠C=90°，
∴△ABO∽△P₂Q₂C，
∴$\frac{{P}_{2}C}{AO}$=$\frac{{Q}_{2}C}{BO}$，
则$\frac{6-t}{3}$=$\frac{{Q}_{2}C}{4}$，
∴Q₂C=$\frac{4}{3}$（6-t），
在△ADP₂和△AOQ₂中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠AO{Q}_{2}}\\{AD=AO}\\{∠DA{P}_{2}=∠OA{Q}_{2}}\end{array}\right.$，
∴△ADP₂≌△AOQ₂（ASA），
∴DP₂=OQ₂，
∴$\frac{4}{3}$（6-t）-3=t-3，
解得：t=$\frac{24}{7}$；
情形2：当AQ₁₁⊥P₁Q₁时，
∵AO⊥BC，根据射影定理得：AO²=BO•OQ₁，
∴OQ₁=$\frac{{3}^{2}}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴CQ₁3=3-$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵P₁Q₁∥AB，
∴∠B=∠P₁Q₁，∠AOB=∠C=90°，
∴△ABO∽△P₁Q₁C，
∴$\frac{{P}_{1}C}{AO}=\frac{C{Q}_{1}}{BO}$，
∴P₁C=$\frac{9}{16}$，
∴t=6-$\frac{9}{16}$=$\frac{87}{16}$，
综上所述：当△APQ为直角三角形时，t的值为$\frac{24}{7}$或$\frac{87}{16}$．

点评 本题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；本题难度较大，特别是（2）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和三角形相似才能得出答案．