Question

【题目】根据题意解答
（1）【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= ．
（2）【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．
（i）求证：ED=FC．
（ii）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）90°
（2）（i）证明：∵△ABE为等边三角形，

∴∠EAB=60°，EA=AB．

∵△ADF为等边三角形，

∴∠FDA=60°，AD=FD．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．

∴EA=DC．

∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，

∴∠EAD=∠CDF．

在△EAD和△CDF中，

，

∴△EAD≌△CDF．

∴ED=FC

（ii）∵△EAD≌△CDF，

∴∠ADE=∠DFC=20°，

∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°

【解析】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60°+90°=150°，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，
∴∠FDE=60°+15°=75°，
∴∠MFD+∠FDM=90°，
∴∠FMD=90°，
所以答案是90°
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和正方形的性质，需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．