【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点(点A在点C的左侧),与y轴交于点B,且OA=OB.
(1)求线段AC的长度;
(2)若点P在抛物线上,点P位于第二象限,过P作PQ⊥AB,垂足为Q.已知PQ=,求点P的坐标.
【答案】(1)线段AC的长是4;(2)点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣1,4).
【解析】
(1)根据题意可以求得点B的坐标,从而可得到点A的坐标,进而求得函数解析式,再令y=0,即可得到点C的坐标,从而可以得到线段AC的长;
(2)根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式,然后根据二次函数的性质和平行线的性质,可以求得点P的坐标,本题得以解决.
(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B,且OA=OB,
∴点B的坐标为(0,3),∴OB=OA=3,
∴点A的坐标为(﹣3,0),∴0=﹣(﹣3)2+b×(﹣3)+3,解得,b=﹣2,
∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+3)(x﹣1),
∴当y=0时,x1=﹣3,x2=1,
∴点C的坐标为(1,0),∴AC=1﹣(﹣3)=4,
即线段AC的长是4;
(2)∵点A(﹣3,0),点B(3,0),
∴直线AB的函数解析式为y=x+3,
过点P作PD∥y轴交直线AB于点D,
设点P的坐标为(m,﹣m2﹣2m+3),则点D的坐标为(m,m+3),
∴PD=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m,
∵PD∥y轴,∠ABO=45°,
∴∠PDQ=∠ABO=45°,
又∵PQ⊥AB,PQ=,
∴△PDQ是等腰直角三角形,
∴PD==2,∴﹣m2﹣3m=2,解得,m1=﹣1,m2=﹣2,
当m=﹣1时,﹣m2﹣2m+3=4,
当m=﹣2时,﹣m2﹣2m+3=3,
∴点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣1,4).
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0),下列结论:①ab<0,②b2>4,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0.其中正确结论的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,其中点B的坐标为B(4,0),抛物线的对称轴交x轴于点D,CE∥AB,并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论:①b2﹣4a<0;②b>0;③5a+b<0;④AD+CE=4.其中正确结论个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.
(1)求证:△ABD≌△EBD;
(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,,角平分线交BC于O,以OB为半径作⊙O.(1)判定直线AC是否是⊙O的切线,并说明理由;
(2)连接AO交⊙O于点E,其延长线交⊙O于点D,,求的值;
(3)在(2)的条件下,设的半径为3,求AC的长.
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【题目】已知:二次函数,当时,函数有最大值5.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点;
(2)将函数图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,得到的新图象与直线恒有四个交点,从左到右,四个交点依次记为,当以为直径的圆与轴相切时,求的值.
(3)若点是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点,若关于m的一元二次方程 恒有实数根时,求实数k的最大值.
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【题目】已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
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【题目】如图,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:(1)①②③;(2)①③②;(3)②③①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接答题号) ;
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).
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