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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于AC两点(点A在点C的左侧),与y轴交于点B,且OAOB

1)求线段AC的长度;

2)若点P在抛物线上,点P位于第二象限,过PPQAB,垂足为Q.已知PQ,求点P的坐标.

【答案】1)线段AC的长是4;(2)点P的坐标为(﹣23)或(﹣14).

【解析】

1)根据题意可以求得点B的坐标,从而可得到点A的坐标,进而求得函数解析式,再令y=0,即可得到点C的坐标,从而可以得到线段AC的长;
2)根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式,然后根据二次函数的性质和平行线的性质,可以求得点P的坐标,本题得以解决.

1)∵二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B,且OAOB

∴点B的坐标为(03),∴OBOA3

∴点A的坐标为(﹣30),∴0=﹣(﹣32+b×(﹣3+3,解得,b=﹣2

y=﹣x22x+3=﹣(x+3)(x1),

∴当y0时,x1=﹣3x21

∴点C的坐标为(10),∴AC1﹣(﹣3)=4

即线段AC的长是4

2)∵点A(﹣30),点B30),

∴直线AB的函数解析式为yx+3

过点PPDy轴交直线AB于点D

设点P的坐标为(m,﹣m22m+3),则点D的坐标为(mm+3),

PD=﹣m22m+3﹣(m+3)=﹣m23m

PDy轴,∠ABO45°,

∴∠PDQ=∠ABO45°,

又∵PQABPQ

∴△PDQ是等腰直角三角形,

PD2,∴﹣m23m2,解得,m1=﹣1m2=﹣2

m=﹣1时,﹣m22m+34

m=﹣2时,﹣m22m+33

∴点P的坐标为(﹣23)或(﹣14).

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