Question

16．已知关于x的方程x²-3x+2-m²=0
（1）当m=0时，解这个方程；
（2）若x=4是这个方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根；
（3）无论m取何值，这个方程是否总有两个不相等的实数根？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将m=0代入原方程得出x²-3x+2=0，利用分解因式法解方程即可；
（2）将x=4代入原方程得出关于m的一元二次方程，求出m的值，再将m²的值代入原方程得出x²-3x-4=0，利用分解因式法解方程即可得出结论；
（3）由根的判别式b²-4ac≥1，可以得知方程总有两个不相等的实数根．

解答 解：（1）当m=0时，原方程为x²-3x+2=0，
即（x-1）（x-2）=0，
解得：x₁=1，x₂=2．
（2）将x=4代入原方程得：
4²-3×4+2-m²=0，即m²=6，
∴m₁=-$\sqrt{6}$，m₂=$\sqrt{6}$．
将m²=6代入原方程得：x²-3x-4=0，
即（x+1）（x-4）=0，
解得：x₁=-1，x₂=4．
答：若x=4是这个方程的一个根，m的值为±$\sqrt{6}$，这个方程的另一个根为-1．
（3）∵△=b²-4ac=（-3）²-4×（2-m²）=4m²+1≥1，
∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根的判别式以及分解因式法解方程，解题的关键是：（1）利用分解因式法解方程；（2）代入x=4求m的值；（3）利用根的判别式b²-4ac恒大于0得出结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式断定实数根的个数很关键．