Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想△EDB的形状并加以证明；

（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形；证明见解析；（3）（，2）或（，﹣2）．

【解析】试题分析：（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；

（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．

解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵抛物线经过O、A两点，

∴抛物线顶点坐标为（2，3），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，

把A点坐标代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；

（2）△EDB为等腰直角三角形．

证明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），

∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，

∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，

∴△EDB为等腰直角三角形；

（3）存在．理由如下：

设直线BE解析式为y=kx+b，

把B、E坐标代入可得，解得，

∴直线BE解析式为y=x+1，

当x=2时，y=2，

∴F（2，2），

①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，

∴点M的纵坐标为2或﹣2，

在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，

∵点M在抛物线对称轴右侧，

∴x＞2，

∴x=，

∴M点坐标为（，2）；

在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，

∵点M在抛物线对称轴右侧，

∴x＞2，

∴x=，

∴M点坐标为（，﹣2）；

②当AF为平行四边形的对角线时，

∵A（4，0），F（2，2），

∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），

设M（t，﹣t2+3t），N（x，0），

则﹣t2+3t=2，解得t=，

∵点M在抛物线对称轴右侧，

∴x＞2，

∵t＞2，

∴t=，

∴M点坐标为（，2）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（，2）或（，﹣2）．