Question

已知抛物线的表达式为y=-x²+2x+3．
（1）求此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）在上述的抛物线上是否存在这样的点P，使S_△ABP=S_△ABC？若存在，求出P点的坐标．
（4）在上述的抛物线上是否存在这样的点P，使S_△ABP=

4

3

S_△ABC？若存在，求出P点的坐标．
（5）在上述的抛物线上是否存在这样的点P，使S_△ABP=

5

3

S_△ABC？若存在，求出P点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）当x=0时可求得点C坐标，当y=0时可求得点A，B坐标，即可解题；
（2）根据A，B坐标可以求得AB长度，根据C点坐标可以求得OC长度，即可解题；
（3）存在，根据S_△ABP=S_△ABC可得点P纵坐标与点C纵坐标相等，且为3，即可求得点P坐标；
（4）存在，根据S_△ABP=

4

3

S_△ABC可得点P纵坐标为4，即可求得点P坐标；
（5）不存在，根据S_△ABP=

5

3

S_△ABC可得点P纵坐标为5，方程无解，故不存在．

解答：解：（1）当x=0时，y=0+0+3=3，
∴C点坐标为（0，3），
当y=0时，0=-x²+2x+3，整理得：x²-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=6；
（3）存在，
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴点P纵坐标与点C纵坐标相等，且为3，
∴-x²+2x+3=3，
解得：x=2或0，∴点P坐标为（2，3）；
（4）存在，
∵S_△ABP=

4

3

S_△ABC，
∴点P纵坐标为点C纵坐标

4

3

倍，即为4，
∴-x²+2x+3=4，
解得：x=1，∴点P坐标为（1，4）；
（5）不存在，
∵S_△ABP=

5

3

S_△ABC，
∴点P纵坐标为点C纵坐标

5

3

倍，即为5，
∴-x²+2x+3=5，
解得：x无解，∴不存在点P．

点评：本题考查了抛物线和坐标轴交点的求解，考查了抛物线上点的求解，本题中求得△ABC的面积是解题的关键．