Question

如图，⊙O是直径BC，弦AB，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（1）求证：BD=CD；
（2）AB=6，BC=10，则BD=

 

；
（3）BC与BD满足什么数量关系？写出结论，并证明；
（4）AB、AC、AD之间满足什么关系？写出结论，并证明．（选择不同的证明方法证明）

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）运用相等的圆周角所对的弦相等，即可解决问题．
（2）证明∠BDC=90°，∠3=45°，借助直角三角形的边角关系即可解决问题．
（3）运用勾股定理或边角关系即可解决问题．
（4）如图，作辅助线，借助全等三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD；

（2）解：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵BD=CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴BD=BC•cos∠3=

2

2

×10=5

2

，
故答案为：5

2

；

（3）BC=

2

BD．
理由：怎么：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵BD=CD，
∴∠3=∠4=45°，
∴BD=BC•cos∠3=

2

2

BC，
即BC=

2

BD；

（4）AB+AC=

2

AD．
证明：过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，
∴∠BMD=∠CND=90°，
∴∠BDM+∠DBM=90°，
∵∠BDM+∠CDN=90°，
∴∠DBM=∠CDN，
在△DBM和△CDN中，

∠BMD=∠DNC ∠DBM=∠CDN BD=CD

，
∴△BDM≌△DCN（AAS），
∴DN=BM，
∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，
∴△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB=

2

BM=

2

DN，AC=

2

AN，
∴AB+AC=

2

（AN+ND）=

2

AC．

点评：该题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点的应用问题；灵活运用是解题的关键．