Question

【题目】已知中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点.

（1）如图1，若，，直接求出的度数：__________；

（2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）25°；（2），证明略；（3）证明略；

【解析】

（1）先根据三角形的内角和得∠ABC=40°，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数；

（2）根据三角形外角的性质分别表示∠BCD和∠DFC的度数，可得∠A和∠G的关系；

（3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论．

如图1，

∵∠ACB=90°，∠A=50°，

∴∠ABC=40°，

∵BG平分∠ABC，

∴∠CBG=20°，

∵DE∥BC，

∴∠CDE=∠BCD=90°，

∵DG平分∠ADE，

∴∠CDF=45°，

∴∠CFD=45°，

∵∠CFD=∠FBG+∠G，

∴∠G=45°-20°=25°；

（2）如图2，∠A=2∠G，

理由是：由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，

∵BC∥DE，

∴∠BCD=∠CDE，

∵∠BCD=∠A+∠ABC=∠A+2∠FBG，

∴2∠FBG+∠A=2∠CDF，

∴∠A=2（∠CDF-∠FBG），

∵∠CFD=∠FBG+∠G，

∴∠G=∠CFD-∠FBG=∠CDF-∠FBG，

∴∠A=2∠G；

（3）如图3，

∵EF∥AD，

∴∠DFE=∠CDF，

由（2）得：∠CFD=∠CDF，

∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=∠ABC+∠G．