[题目]如图1.抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(1.0).B(4.0).与y轴交于点C(1) 求抛物线的解析式(2) 抛物线上一点D.满足S△DAC＝S△OAC.求点D的坐标(3) 如图2.已知N(0.1).将抛物线在点A.B之间部分(含点A.B)沿x轴向上翻折.得到图T.点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移.得到的图象T1与线段BC至少有一个交点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C

(1) 求抛物线的解析式

(2) 抛物线上一点D，满足S△DAC＝S△OAC，求点D的坐标

(3) 如图2，已知N(0，1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围

【答案】（1）；（2）D（，）或（，）；（3）图象T1顶点横坐标的取值范围.

【解析】试题分析：（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）分两种情况讨论：当D在直线AC的左侧时和当D在直线AC的右侧时，求得点D的坐标；

（3）两种极值情况求得m的值,两值之间范围即符合题意

解：（1）将A(1,0)，B(4，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c解析式得：

，

解得：b=-5，c=4，

∴抛物线的解析式为：y=x2-5x+4；

（2）∵A（1,0），C（0,4），

∴直线AC的解析式为，

当D在直线AC的左侧时，

∵

∴OD∥AC，

∴直线OD的解析式为，

∴

方程组无解，

∴D不在直线AC的左侧

当D在直线AC的右侧时，在轴上取点M（2,0），则，过点M作直线DM∥AC交抛物线于点D，则直线DM的解析式为，

∴

解得，，

∴D（，）或（，）

（3）解：设抛物线：y=x2-5x+4的顶点为G，

则点G(2.5，-2.25)关于轴对称点M的坐标为：M(2.5，2.25)，

又∵N（0，1）解得直线MN：，,

∵图象T顶点在直线MN上,

∴设图象T1顶点为，

如图，由点A（1，0）与M(2.5，2.25)的坐标关系，得到点A的对应点 ,即，

又BC：，

当点K在BC上时, ，

∴，

∴

∵

∴点K在线段BC上,

设图象T1所在抛物线方程为：，点L为直线BC与抛物线的交点，则点L的坐标满足下列两个方程：，，

∴点L的横坐标是方程：的解，

当图象T1与直线BC相切时有：

，

∴ ，

∴,

∵,

∴点L在图象T1上,

∵，

∴点L在段BC上

∴图象T1顶点横坐标的取值范围：.

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