Question

【题目】如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6cm

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长．

解：（1）是等边三角形，

，

，，，

．

，

，

是等边三角形；

（2）根据题意可得：

∵△PMN是等边三角形，
∴PM=MN=NP，

在△PBM、△MCN和△NAP中，

，

∴（AAS），

，；

，

，

．

是正三角形，

，而，

．

，

，

，

．