Question

【题目】在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：

（1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5，-），其中是平面直角坐标系中的巧点的是______；

（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线y=（k为常数）上，求m，k的值；

（3）已知点N为巧点，且在直线y=x+3上，求所有满足条件的N点坐标．

Answer 1

【答案】（1）D和E；（2）m=，k=25；（3）N的坐标为(-6，-3)或(3，6)．

【解析】

（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合巧点的定义，即可找出点D，E是巧点；

（2）利用巧点的定义可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k值；

（3）设N(x，x+3)，根据巧点的定义得到2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，分三种情况讨论即可求解．

（1）∵（4+4）×2=4×4，（5+）×2=5×，（1+3）×2≠1×3，

∴点D和点E是巧点，

故答案为：D和E；

（2）∵点M(m，10)（m＞0），

∴矩形的周长=2（m+10），面积=10m．

∵点M是巧点，

∴2（m+10）=10m，解得：m=，

∴点M(，10)．

∵点M在双曲线y=上，

∴k=×10=25；

（3）设N(x，x+3)，则2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，

当x≤-3时，化简得：x2+7x+6=0，解得：x=-6或x=-1（舍去）；

当-3＜x＜0时，化简得：x2+3x+6=0，无实根；

当x≥0时，化简得：x2-x-6=0，解得：x=3或x=-2（舍去），

综上，点N的坐标为(-6，-3)或(3，6)．