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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点CCQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.

(1)求证:△APD≌△BQC;

(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.

【答案】证明见解析

【解析】

(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;

(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;

(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC,

∵CQ∥DB,

∴∠BCQ=∠DBC,

∵DP=CQ,

∴△ADP≌△BCQ.

(2)证明:∵CQ∥DB,且CQ=DP,

四边形CQPD是平行四边形,

∴CD=PQ,CD∥PQ,

四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AB∥CD,

∴AB=PQ,AB∥PQ,

四边形ABQP是平行四边形,

∵△ADP≌△BCQ,

∴∠APD=∠BQC,

∵∠∠APD+∠APB=180°,

∴∠ABP=∠APB,

∴AB=AP,

四边形ABQP是菱形.

练习册系列答案
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【题目】已知:如图,CAB上一点,点DE分别在AB两侧,ADBE,且ADBCBEAC

1)求证:CDCE

2)连接DE,交AB于点F,猜想BEF的形状,并给予证明.

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【题目】如图,已知ABC中,AB=AC,AD为中线,点PAD上一点,点QAC上一点,且∠BPQ+BAQ=180°.

1)若∠ABP=α,求∠PQC的度数(用含α的式子表示);

2)求证:BP=PQ.

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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EFCEAB边于点F,以CEEF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.

(1)①如图2,当点F与点B重合时,CE=  ,CG=  

②如图3,当点EBD中点时,CE=  ,CG=  

(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状?并加以证明;

(3)在图1,的值是否会发生改变?若不变,求出它的值;若改变,说明理由;

(4)在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.

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【题目】先阅读下列材料,然后回答问题:

在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若各项的系数之和为零,即a+b+c=0,则有一根为1,另一根为.

证明:设方程的两根为x1,x2,由a+b+c=0,知b=-(a+c),

∵x=

∴x1=1,x2.

(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数满足a-b+c=0,请直接写出此方程的两根;

(2)已知方程(ac-bc)x2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0有两个相等的实数根,运用上述结论证明:.

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【题目】如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙OAC于点E,过点EAB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2C.

(1)求证:EG是⊙O的切线;

(2)若tanC=,AC=8,求⊙O的半径.

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【题目】如图,在直角坐标系中,先描出点,点.

1)描出点关于轴的对称点的位置,写出的坐标

2)用尺规在轴上找一点,使的值最小(保留作图痕迹);

3)用尺规在轴上找一点,使(保留作图痕迹).

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【题目】如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,CE=DF,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;AEBF;③△ABFDAE成中心对称其中正确的结论有( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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