【题目】如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.
(1)求证:△APD≌△BQC;
(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.
【答案】证明见解析
【解析】
(1)根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;
(2)四边形AECF是菱形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵CQ∥DB,
∴∠BCQ=∠DBC,
∵DP=CQ,
∴△ADP≌△BCQ.
(2)证明:∵CQ∥DB,且CQ=DP,
∴四边形CQPD是平行四边形,
∴CD=PQ,CD∥PQ,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴AB=PQ,AB∥PQ,
∴四边形ABQP是平行四边形,
∵△ADP≌△BCQ,
∴∠APD=∠BQC,
∵∠∠APD+∠APB=180°,
∴∠ABP=∠APB,
∴AB=AP,
∴四边形ABQP是菱形.
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【题目】已知:如图,C是AB上一点,点D,E分别在AB两侧,AD∥BE,且AD=BC,BE=AC.
(1)求证:CD=CE;
(2)连接DE,交AB于点F,猜想△BEF的形状,并给予证明.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,AD为中线,点P是AD上一点,点Q是AC上一点,且∠BPQ+∠BAQ=180°.
(1)若∠ABP=α,求∠PQC的度数(用含α的式子表示);
(2)求证:BP=PQ.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,AB=8,AD=6;点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EF⊥CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H.
(1)①如图2,当点F与点B重合时,CE= ,CG= ;
②如图3,当点E是BD中点时,CE= ,CG= ;
(2)在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状?并加以证明;
(3)在图1,的值是否会发生改变?若不变,求出它的值;若改变,说明理由;
(4)在图1,设DE的长为x,矩形CEFG的面积为S,试求S关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围.
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【题目】先阅读下列材料,然后回答问题:
在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若各项的系数之和为零,即a+b+c=0,则有一根为1,另一根为.
证明:设方程的两根为x1,x2,由a+b+c=0,知b=-(a+c),
∵x==,
∴x1=1,x2=.
(1)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数满足a-b+c=0,请直接写出此方程的两根;
(2)已知方程(ac-bc)x2+(bc-ab)x+(ab-ac)=0有两个相等的实数根,运用上述结论证明:.
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【题目】如图,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作AB的垂线交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)若tanC=,AC=8,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在ABC中,AP=DP,DE=DF,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列结论:①.AD平分∠BAC;②.△BED≌△FPD;③.DP∥AB;④.DF是PC的垂直平分线.其中正确的是= _________ .(写序号)
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【题目】如图,在直角坐标系中,先描出点,点.
(1)描出点关于轴的对称点的位置,写出的坐标 ;
(2)用尺规在轴上找一点,使的值最小(保留作图痕迹);
(3)用尺规在轴上找一点,使(保留作图痕迹).
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【题目】如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,CE=DF,AE,BF相交于点O.下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③△ABF与△DAE成中心对称.其中,正确的结论有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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