Question

11．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，-1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据勾股定理，可得OA²、OB²、AB²的长，根据勾股定理的逆定理，可得∠OAB等于90°，根据点到直线的距离的定义，可得答案；
（3）根据抛物线上的点满足函数解析式，可得方程②，根据相似三角形的性质，可得方程①③，根据解方程组，可得M点的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-1，
将B点坐标代入函数解析式，得
（5-1）²a-1=3，
解得a=$\frac{1}{4}$．
故抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-1）²-1；
（2）由勾股定理，得OA²=1¹+1²=2，OB²=5²+3²=34，AB²=（5-1）²+（3+1）²=32，
OA²+AB²=OB²，
∴∠OAB=90°，
O到直线AB的距离是OA=$\sqrt{2}$；
（3）设M（a，b），N（a，0）
当y=0时，$\frac{1}{4}$（x-1）²-1=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
D（3，0），DN=3-a．
①当△MND∽△OAB时，$\frac{NM}{OA}$=$\frac{DN}{AB}$，即$\frac{b}{\sqrt{2}}$=$\frac{3-a}{4\sqrt{2}}$，
化简，得4b=a-3  ①
M在抛物线上，得b=$\frac{1}{4}$（a-1）²-1   ②
联立①②，得$\left\{\begin{array}{l}{4b=3-a}\\{b=\frac{1}{4}（a-1）^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得a₁=3（不符合题意，舍），a₂=-2，b=$\frac{5}{4}$，
M₁（-2，$\frac{5}{4}$），
当△MND∽△BAO时，$\frac{MN}{BA}$=$\frac{ND}{OA}$，即$\frac{b}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3-a}{\sqrt{2}}$，
化简，得b=12-4a   ③，
联立②③，得$\left\{\begin{array}{l}{b=12-4a}\\{b=\frac{1}{4}（a-1）^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得a₁=3（不符合题意，舍），a₂=-17，b=12-4×（-17）=80，
M₂（-17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（-2，$\frac{5}{4}$），（-17，80）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．