Question

1．某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若第一象限内的点D在抛物线上，且C点与D点到x轴的距离相等，求D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、C三点坐标，S=$\frac{1}{2}$AB•OC；
（2）由C点与D点到x轴的距离相等，可知CD平行于x轴，点C与点D纵坐标相同，解方程即可知D点的坐标．

解答 解：（1）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴AB=3-（-1）=4，
令x=0，y=3，
∴OC=3，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；                    
（2）∵C点与D点到x轴的距离相等，
∴CD平行于x轴，
∴3=-x²+2x+3，
解得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴D（2，3）．

点评 本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、二次函数的轴对称性，解决问题的关键是数形结合，熟悉二次函数的图象与性质．