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【题目】如图,抛物线与双曲线全相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点,点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内.过点B作直线BC//x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍.记抛物线顶点为E.

(1)求双曲线和抛物线的解析式;

(2)计算的面积;

(3)在抛物线上是否存在点D,使的面积等于的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1215 (3) D的坐标为(3﹣18)或(﹣4﹣4

【解析】解:(1A﹣22)在双曲线上,

∴k=﹣4

双曲线的解析式为

∵BCx轴之间的距离是点By轴距离的4倍,

B点坐标为(m﹣4m)(m0)代入双曲线解析式得m=1

抛物线y=ax2+bx+ca0)过点A﹣22)、B1﹣4)、O00)。

,解得:

抛物线的解析式为

2抛物线的解析式为

顶点E),对称轴为x=

∵B1﹣4),∴﹣x2﹣3x=﹣4,解得:x1=1x2=﹣4

∴C﹣4﹣4)。

SABC=×5×6=15

AB两点坐标为(﹣22),(1﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2

设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(1)。

EF=SABE=SAEF+SBEF=××3=

3SABE=8SABE=15

当点D与点C重合时,显然满足条件,

当点D与点C不重合时,过点CAB的平行线CD

其直线解析式为y=﹣2x﹣12

﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,解得x1=3x2=﹣4(舍去)。

x=3时,y=﹣18,故存在另一点D3﹣18)满足条件。

综上所述,可得点D的坐标为(3﹣18)或(﹣4﹣4)。

1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m﹣4m)(m0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了ABO的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可。

2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,从而根据SABE=SAEF+SBEF可得△ABE的面积。

3)先确定符合题意的△ABD的面积,从而可得出当点D与点C重合时,满足条件;当点D与点C不重合时,过点CAB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。

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