【题目】如图,抛物线与双曲线全相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点,点的坐标为(一2,2),点B在第四象限内.过点B作直线BC//x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍.记抛物线顶点为E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算与的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使的面积等于的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1), (2)15, (3) D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)
【解析】解:(1)∵点A(﹣2,2)在双曲线上,
∴k=﹣4。
∴双曲线的解析式为。
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍,
∴设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得m=1。
∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0)。
∴,解得: 。
∴抛物线的解析式为。
(2)∵抛物线的解析式为,
∴顶点E(),对称轴为x=。
∵B(1,﹣4),∴﹣x2﹣3x=﹣4,解得:x1=1,x2=﹣4。
∴C(﹣4,﹣4)。
∴S△ABC=×5×6=15,
由A、B两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2。
设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(,1)。
∴EF=。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=。
(3)S△ABE=,∴8S△ABE=15。
∴当点D与点C重合时,显然满足条件,
当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,
其直线解析式为y=﹣2x﹣12。
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,解得x1=3,x2=﹣4(舍去)。
当x=3时,y=﹣18,故存在另一点D(3,﹣18)满足条件。
综上所述,可得点D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)。
(1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
(2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。
(3)先确定符合题意的△ABD的面积,从而可得出当点D与点C重合时,满足条件;当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。
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【题目】有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为( )
A.1+x+x(1+x)=100
B.x(1+x)=100
C.1+x+x2=100
D.x2=100
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【题目】如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.
(1)求证:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,AC,BD相交于O,P是边BC上一点,AP与BD交于点M,DP与AC交于点N.
①若点P为BC的中点,则AM:PM=2:1;
②若点P为BC的中点,则四边形OMPN的面积是8;
③若点P为BC的中点,则图中阴影部分的总面积为28;
④若点P在BC的运动,则图中阴影部分的总面积不变.
其中正确的是_____________.(填序号即可)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、A,与反比例函数的图象分别交于点C、D,CE⊥x轴于点E,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OD,求△OBD的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD的面积为16cm2 , 对交线交于点O;以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B,对角线交于点O1 , 以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,…;依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A. cm2
B.1cm2
C.2cm2
D.4cm2
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