Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．

（1）求线段OC的长；

（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．

Answer 1

【答案】（1）OC＝4；（2）DG＝GE，见解析；（3）G（3，1）．

【解析】

（1）利用三角形的面积公式求出OB，再根据对称性解决问题即可．

（2）证明△DGH≌△EGC（AAS）可得结论．

（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD=DH=x，则AH=x，HC=4﹣x，证明△DHG∽△CHD，推出，由此构建方程求出x即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵S△AOB=×OB×OA=8，

∴OB=4，

∵△AOB与△AOC关于y轴对称，

∴OC=OB=4．

（2）如图2中，结论：DG=GE．

理由：作DH∥EC交AC于H．

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠DAH=∠ACO=45°，

∵DH∥OC，

∴∠AHD=∠ACO=45°，

∴∠DAH=∠AHD，

∴AD=DH，

∵AD=EC，

∴DH=EC，

∵∠DHG=∠GCE，∠DGH=∠CGE，

∴△DGH≌△EGC（AAS），

∴DG=EG．

（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD=DH=x，则AH=x，HC=4﹣x，

∵HG=CG，

∴HG=HC=2﹣x，

∵OA⊥BC，OB=OC，

∴AB=AC，DB=DC，

∴∠ABC=∠ACB，∠DBO=∠DCO，

∴∠ABD=∠ACD，

∵∠CEG=∠ABD，

∴∠ACD=∠CEG，

∵DH∥CE，

∴∠HDG=∠CEG=∠DCH，

∵∠DHG=∠DHC，

∴△DHG∽△CHD，

∴，

∴，

解得x=2，

∴AH=CH=2，

∴H（2，2），

∵GH=GC，

∴G（3，1）．