【题目】观察下列两个等式:2=2×
+1,5
=5×
+1,给出定义如下:我们称使等式ab=ab+1的成立的一对有理数a,b为“共生有理数对”,记为(a,b),如:数对(2,
),(5,
),都是“共生有理数对”.
(1)判断数对(2,1),(3,)是不是“共生有理数对”,写出过程;
(2)若(a,3)是“共生有理数对”,求a的值;
(3)若(m,n)是“共生有理数对”,则(n,m)“共生有理数对”(填“是”或“不是”);说明理由;
(4)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为(注意:不能与题目中已有的“共生有理数对”重复).
【答案】(1)见解析;(2)a=2;(3)是,理由见解析;(4)(4, )或(6,
);
【解析】
(1)根据“共生有理数对”的定义即可判断;
(2)根据“共生有理数对”的定义,构建方程即可解决问题;
(3)根据“共生有理数对”的定义即可判断;
(4)根据“共生有理数对”的定义即可解决问题;
(1)21=3,2×1+1=1,
∴21≠2×1+1,
∴(2,1)不是“共生有理数对”,
∵3=
,3×
+1=
,
∴3=3×
=1,
∴(3, )是“共生有理数对”;
(2)由题意得:
a3=3a+1,
解得a=2.
(3)是.
理由:m(m)=n+m,
n(m)+1=mn+1
∵(m,n)是“共生有理数对”
∴mn=mn+1
∴n+m=mn+1
∴(n,m)是“共生有理数对”,
(4)(4,)或(6,
)等.
故答案为是(4, )或(6,
);
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【题目】如图,抛物线 (a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,△ABC在直角坐标系中,
(1)若把△ABC向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到△A′B′C′,写出 A′、B′、C′的坐标,并在图中画出平移后图形.
(2)如果在第二象限内有一点P(m,3),四边形ACOP的面积为 (用含m的式子表示)
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ACOP的面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线经过B(﹣1,0),D(﹣2,5)两点,与x轴另一交点为A,点H是线段AB上一动点,过点H的直线PQ⊥x轴,分别交直线AD、抛物线于点Q,P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使∠APB=90°,若存在,求出点P的横坐标,若不存在,说明理由;
(3)连接BQ,一动点M从点B出发,沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q,再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止,当点Q的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时t最少?
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【题目】长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a度/秒,灯B转动的速度是b度/秒,且a,b满足|a﹣3b﹣1|+(a+b﹣5)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°.
(1)求a,b的值;
(2)若两灯同时转动,经过42秒,两灯射出的光束交于C,求此时∠ACB的度数;
(3)若灯B射线先转动10秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?(直接写出答案)
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【题目】徐州地铁1号线,西起杏山子大道,止于高铁徐州东站,共设18座站点,18座站点如下所示.徐州轨道交通试运营期间,小苏从苏堤路站开始乘坐地铁,在地铁各站点做志愿者服务,到站下车时,本次志愿者服务活动结束,约定向徐州东站站方向(即箭头方向)为正,当天的乘车记录如下(单位:站):
,-2,-6,
8,
3,-4,-9,
8.
(1)请通过计算说明站是哪一站?
(2)如果相邻两站之间的距离为千米,求这次小苏志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是多少千米?
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
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【题目】在不透明的布袋中装有1个红球,2个白球,它们除颜色外其余完全相同.
(1)从袋中任意摸出两个球,试用树状图或表格列出所有等可能的结果,并求摸出的球恰好是两个白球的概率;
(2)若在布袋中再添加a个白球,充分搅匀,从中摸出一个球,使摸到红球的概率为,试求a的值.
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【题目】综合探究:如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣+bx+8与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点P为线段AO上的一个动点,过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E,连接AE、EC.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)连接AC交直线l于点D,则在点P运动过程中,当点D为EP中点时,S△ADP:S△CDE= ;
(3)如图2,当EC∥x轴时,点P停止运动,此时,在抛物线上是否存在点G,使得以点A、E、G为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点G的坐标,若不存在,说明理由.
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