Question

10．在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆弧的中点，OD⊥AC，垂足为D点，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE交于点F，设EF=x，DF=y．
（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；
（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，请直接写出线段DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，根据垂径定理可得OD=AD，根据平行线分线段成比例可得CF=EF，根据三角形的中位线定理可得DF=$\frac{1}{2}$AE．由点C是以AB为直径的半圆的中点可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理可用x的代数式表示OE，从而表示出AE，DF，即可解决问题；
（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF，如图2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=EF=CF=4，即x=4，代入（1）中y与x的函数关系式，即可解决问题；
（3）由于两圆相切包括外切与内切，因此需分情况讨论，可分三种情况（①⊙E与⊙O外切于点B，②⊙E与⊙O内切于点B，③⊙E与⊙O内切于点A）讨论，用x的代数式表示出OE，代入CE²-OE²=CO²，求出x，就可解决问题．

解答 解：（1）连接OC，如图1．

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴OD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（AO+OE）．
∵点C是以AB为直径的半圆的中点，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
∵EF=x，AO=CO=4，
∴CE=2x，OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{4{x}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{{x}^{2}-4}$）=2+$\sqrt{{x}^{2}-4}$，自变量x的取值范围为x≥2；

（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF，如图2，

则有OF=EF=CF=4，即x=4，
∴DF=2+$\sqrt{{4}^{2}-4}$=2+2$\sqrt{3}$；

（3）①当⊙E与⊙O外切于点B时，
则有BE=FE=x，OE=x+4．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，
整理得：3x²-8x-32=0，
∴x₁=$\frac{4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴DF=$\frac{1}{2}$（AB+BE）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4+4\sqrt{7}}{3}$）=$\frac{14+2\sqrt{7}}{3}$．
②当⊙E与⊙O内切于点B时，
则有BE=FE=x，OE=4-x．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，
整理得：3x²+8x-32=0，
∴x₁=$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{-4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去）．
∴DF=$\frac{1}{2}$（AB-BE）=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$）=$\frac{14-2\sqrt{7}}{3}$．
③当⊙E与⊙O内切于点A时，
则有AE=FE=x，OE=4-x．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，
整理得：3x²+8x-32=0，
∴x₁=$\frac{-4+4\sqrt{7}}{3}$，x₂=$\frac{-4-4\sqrt{7}}{3}$（舍去），
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、平行线分线段成比例、三角形的中位线定理、弧与圆心角的关系、勾股定理、相切两圆的数量关系、解一元二次方程、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，还用到了分类讨论的数学思想，利用CE²-OE²=CO²是解决本题的关键．