Question

如图，△ABD，△BCE，△ACF均为等边三角形，请回答下列问题，其中（2），（3），（4）小题不用说明理由：
（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由．
（2）当△ABC满足________条件时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ABC满足________条件时，四边形ADEF是矩形？
（4）当△ABC满足________条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

解：（1）∵△ABD，△BCE为等边三角形
∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC
∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°
∴∠ABC=∠DBE
∴△ABC≌△DBE
∴DE=AC 同理：EF=AB
∵AB=AD，AC=AF
∴EF=AD，DE=AF
∴四边形ADEF是平行四边形

（2）∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
∵△ABD，△ACF均为等边三角形，
∴AB=AD，AC=AF．
∴AB=AC时，四边形ADEF是矩形．

（3）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（4）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
故答案为：（2）AB=AC （3）∠BAC=150° （4）∠BAC=60°
分析：（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．
（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°．
（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
点评：此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．