Question

6．如图，已知P为第四象限一动点，A为x轴负半轴上一动点，B为y轴负半轴上一动点，若AM，BM分别平分∠OAP，∠OBP，试问A，B，P在运动过程中，∠P，∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 如图，AP与y轴交于点C，与BM交于点D，根据角平分线的定义得到∠1=$\frac{1}{2}$∠OAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠PBC，利用三角形内角和和对顶角相等，在△ADM和△BPM中得到∠1+∠M=∠2+∠P①，在△AOC和△BPC中得到∠OAC+∠AOC=∠PBC+∠P，即2∠1+90°=2∠2+∠P②，然后利用等式的性质变形易得2∠M-∠P=90°．

解答 解：2∠M-∠P=90°．理由如下：
如图，AP与y轴交于点C，与BM交于点D，
∵AM，BM分别平分∠OAP，∠OBP，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠OAC，∠2=$\frac{1}{2}$∠PBC，
在△ADM和△BPM中，∠1+∠M=∠2+∠P①，
在△AOC和△BPC中，∠OAC+∠AOC=∠PBC+∠P，即2∠1+90°=2∠2+∠P②，
②-①×2得90°-2∠M=-∠P，
∴2∠M-∠P=90°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．