Question

2．在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD=DE=EC=BC．求证：∠BAC=20°．

Answer 1

分析 作CF∥DE，DF∥AC，连接BF，得到四边形CEDF是菱形，根据已知条件和菱形的性质，证明△ADE≌△DFB，得到DE=FB=CF=BC=DF，所以△BCF是等边三角形，得到∠FBC=∠FCB=60°，进而得到∠DBF=∠ECF=∠A，由∠DBF+∠ECF+∠A+∠FBC+∠FCB=180°，即3∠A+120°=180°，得到∠A=20°．

解答 解：如图，作CF∥DE，DF∥AC，连接BF，

∵CF∥DE，DF∥AC，DE=EC，
∴∠BDF=∠A=∠AED=∠EDF，四边形CEDF是菱形，
∴DF=CF=DE=CE，∠EDF=∠ECF，
∵AD=DE=CE=BC，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，AE=DB，AD=DE=CE=BC=CF，
在△ADE和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DB}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DFB，
∴DE=FB=CF=BC=DF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠FBC=∠FCB=60°，
∴∠DBF=∠ECF=∠A，
∵∠DBF+∠ECF+∠A+∠FBC+∠FCB=180°，
即3∠A+120°=180°，
∴∠A=20°．

点评 本题考查了菱形的性质与判定、全等三角形的性质与判定定理、等边三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线．