Question

【题目】在和中，，直线与交于点．

（1）如图1，若，填空：①的值为____________；

②的度数为___________．

（2）如图2，若，求的值（用含的式子表示）及的度数；

（3）若，，，将三角形绕着点在平面内旋转，直接写出当点、、在同一直线上时，线段的长．

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2），；（3）或．

【解析】

（1）①先根据等腰三角形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得；

②先根据①三角形全等的性质可得，再根据直角三角形的性质、等量代换即可得；

（2）先利用正切函数值可得，再利用相似三角形的判定与性质即可得；先根据相似三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质、等量代换即可得；

（3）先利用直角三角形的性质可得AB、CD的长，再同（2）可得，，然后分如图3-1和如图3-2（见解析）两种情况，在中，分别利用勾股定理即可得．

（1）①，

和均为等腰直角三角形

在和中，

即

故答案为：1；

②由①已证：

，即

，即

故答案为：；

（2）在中，

∴

在中，

∴

∴

，即

在和中，

∴

∴，

，即

，即

；

（3）在中，，

在中，，

同（2）可得：，

设，则

由题意，分以下两种情况：

①如图3-1，点D在线段AC上

则

在中，，即

解得或（不符题意，舍去）

②如图3-2，点C在线段AD上

则

在中，，即

解得或（不符题意，舍去）

综上，线段的长为或．