Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，GH与BD交于点O，试证明EF和GH互相平分．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：由平行四边形的性质，结合条件可证明△ABE≌△CDF，可得BE=DF，由条件可证明GO=HO，可证得结论．

解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，

∠AEB=∠CFD ∠ABE=∠CDF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
又∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-BF，即OE=OF，
又∵G，H分别为AD，BC的中点，
∴OG=OH=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴EF和GH互相平分．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．