【题目】已知二次函数 (
是常数).
(1)求证:不论 为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿 轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与
轴只有一个公共点?
【答案】
(1)证明:∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=4m2﹣4m2﹣12=﹣12<0
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解, 即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)解:y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,
∴把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
【解析】(1)先求出b2-4ac,再将它与0比较大小即可得证。
(2)先将函数解析式化成顶点形式,得到的函数的图象要与 x 轴只有一个公共点,则顶点点纵坐标为0 ,即可求出平移的单位。
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点,掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.即可以解答此题.
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【题目】在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D、E处,请问:
(1)如图1,在爬行过程中,CD和BE始终相等吗,请证明?
(2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”,改为“沿着AB和CA的延长线爬行”,EB与CD交于点Q,其他条件不变,蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变,请利用图2说明:∠CQE=60°;
(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,如图3,则爬行过程中,证明:DF=EF
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【题目】某公司销售一种进价为20 (元/个)的计算器,其销售量y (万个)与销售价格x (元/个)之间为一次函数关系,其变化如下表:
价格x (元/个) | … | 30 | 50 | … |
销售量y (万个) | … | 5 | 3 | … |
同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.若该公司要获得40万元的净利润,且尽可能让顾客得到实惠,那么销售价格应定为多少?
(注:净利润=总销售额﹣总进价﹣其他开支)
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【题目】如图①,A、B、C三地依次在一直线上,两辆汽车甲、乙分别从A、B两地同时出发驶向C地,如图②,是两辆汽车行驶过程中到C地的距离s(km)与行驶时间t(h)的关系图象,其中折线段EF﹣FG是甲车的图象,线段OM是乙车的图象.
(1)图②中,a的值为 ;点M的坐标为 ;
(2)当甲车在乙车与B地的中点位置时,求行驶的时间t的值.
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【题目】如图所示,将两块三角板的直角顶点重合.
(1)写出以C为顶点的相等的角;
(2)若∠ACB=150°,请直接写出∠DCE的度数;
(3)写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系;
(4)当三角板ACD绕点C旋转时,你所写出的(3)中的关系是否变化?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,6).
(1)如图①,过点A作AB⊥轴,垂足为B,则三角形AOB的面积为 ;
(2)如图②,将线段OA向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到线段.
①求四边形的面积;
②若P是射线OA上的一动点,连接、
,请画出图形,并直接写出
与
,
的数量关系.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有一个△ABC,顶点A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣3,﹣1).
(1)画出△ABC关于y轴的对称轴图形△A1B1C1(不写画法);
点A1的坐标为 ;点B1的坐标为 ;点C1的坐标为 .
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是 .
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