Question

17．如图，图4×4正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形．所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个等腰△ABC；
（2）以AC为一边作平行四边形ACED；
（3）直接写出等腰△ABC与平行四边形ACED之间重叠部分面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形定义可以解决．
（2）根据平行四边形定义交于解决．
（3）先求出BM：BA，然后利用相似三角形的性质即可解决．

解答 解：（1）图中△ABC就是所画．
（2）图中平行四边形ACED就是所画．
（3）设AB，DE交于点M，作MN⊥AG，MK⊥GE．
在△AGB和△EGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=EG}\\{∠AGB=∠EGD}\\{GB=GD}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△EGD，
∴∠GAB=∠GED
在△AMD和△EMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠BEM}\\{∠AMD=∠EMB}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△EMB，
∴AM=EM，
在RT△AMN和RT△EMK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAN=∠MEK}\\{∠ANM=∠MKE}\\{AM=ME}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△EMK，
∴MN=MK，∴∠MGN=∠MGK=45°，
∴∠NGM=∠NMG=∠MGK=∠KMG=45°，
∴MN=NG=KG=KM，设MN=a，
∵MN∥GB，
∴$\frac{MN}{GB}=\frac{AN}{AG}$，
∴$\frac{a}{3}=\frac{4-a}{4}$，
∴a=$\frac{12}{7}$，
∴$\frac{BM}{BA}=\frac{GN}{GA}=\frac{3}{7}$，
∴$\frac{{S}_{△BMH}}{{S}_{△ABC}}=\frac{9}{49}$，
∵S_△ABC=16-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{7}{2}$，
∴S_△BMH=$\frac{9}{14}$
∴S_重叠AMHC=$\frac{7}{2}$-$\frac{9}{14}$=$\frac{20}{7}$．

点评 本题考查等腰三角形的定义、平行四边形的定义、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．